Zdeněk Dostál: O užitečnosti matematiky a všeobecném vzdělání

Na příklad T. Fišerová, Komu svědčí povinná maturita z matematiky nebo M. Rubáš, O neužitečnosti matematiky. Jejich autoři v nich mimo jiné představují své neuvěřitelně naivní a nepřátelské představy o matematice, které mají s matematikou jen málo společného.

Shodně dochází k názoru, že společnost potřebuje všestranně vzdělané osobnosti se základním humanitním vzděláním, ale že tyto osobnosti matematiku nepotřebují, pokud jim znalost matematiky rovnou neškodí. V diskuzi pod oběma články se objevila výstižná kritika - díky pane Kolaříku a pane Šrámku - takže je není třeba systematicky rozebírat.

Obavy z matematiky založené na vlastních představách mají dlouhou tradici - již svatý Augustin psal: „Dobrý křesťan se má stříci matematiků a všech těch, kteří dělávají prázdné předpovědi, zvláště však tehdy, když se tyto předpovědi splní. Je totiž nebezpečí, že matematici ve spolku s ďáblem matou rozum a zaplétají lidstvo do spárů pekelných.“ Stejně tak odpor k matematice – vzpomeňme tragický konec Hypatie.

Cílem tohoto článku je napsat pár slov o matematice. Omlouvám se současně těm, kteří vědí, čím se matematika zabývá, že zde mnoho nového nenajdou.

Matematika a jiné vědy

Postavení matematiky mezi ostatními vědami napoví hierarchie věd podle míry abstrakce, formulovaná zakladatelem sociologie A. Comtem, který klade matematiku do základu všech věd. Na ni se postupně nabalují další vědy: fyzika, chemie, biologie a na závěr sociologie. Aby se jakákoliv věda z této řady mohla rozvíjet, předpokládá se plná zralost té, která stojí před ní. Tolik (mírně modifikovaný) Comte. Podobné úvahy mohly napadnout i Platona, jehož škola měla podle pozdější pověsti nad vchodem nápis „Bez znalosti geometrie sem nikdo nevstupuj!“

Vědy ve výše uvedené hierarchii jsou současně uspořádány i podle spolehlivosti výsledků. Matematika je jediná zcela spolehlivá, neboť její výsledky jsou založeny na logických argumentech. Takto chápaná matematika umožňuje vytvářet modely reálného světa, jejichž použití patří do kompetence dalších věd, sama však vědou o reálném světě není. Ukázkou toho je důležité dílo moderní matematiky, Euklidovy Základy. Euklid formuluje definice abstraktních objektů a jejich jednoduché vlastnosti na základě pozorování a odvozuje z nich další tvrzení, kterým se v matematice říká věty. Příkladem je Euklidova věta a zejména její důkaz, který se neopírá o zkušenost a spolehlivě platí i pro trojúhelníky o rozměrech, které doposud nikdo neuvažoval. V Základech je také slavný pátý axiom o rovnoběžkách, který není zcela zřejmý a na první pohled není jasné, zda se nedá z ostatních axiomů odvodit. Až v moderní době se ukázalo, že ho nelze odvodit z ostatních axiomů - když ho nahradíme jeho negací, dostaneme jiný (bezesporný) model geometrie, který má také uplatnění v reálném světě.

Otázka který model geometrie popisuje které aspekty reálného světa je předmětem fyziky. Rozhoduje se podle výsledků experimentů. Fyzika se zabývá jevy reálného světa v jejich relativně jednoduché formě, ale neznamená to, že jsou jednoduché. Na příklad pouhý popis stavu napětí a deformace tělesa vyžaduje znalosti matematiky, které lze sotva zařadit do maturitních kurzů. Studium kvantové fyziky nelze ani zahájit bez pochopení příslušného matematického aparátu, na jehož vývoji se samozřejmě fyzika podílí.

Fyzika principiálně popisuje i aspekty reálného světa patřící do biologie, avšak ty jsou tak složité, že k reálnému pokroku je třeba vypracovat další matematické a specifické experimentální metody. Zkuste si jen představit, jak byste porovnávali genomy zakódované do posloupnosti tří miliard písmen, která jsou k disposici po různě se překrývajících částech, v nichž občas něco chybí nebo nadbývá. Ještě složitější je předmět zkoumání společenských věd, který se navíc s časem mění, možnosti experimentů jsou omezené, a výzkumy je nutno kombinovat se studiem dalších oborů včetně historie. Dokazuje to i útočný název článku M. Rubáše, jehož autora „naděje vkládané do aplikované matematiky samozřejmě vybízí k obezřetné úvaze, jak si toto myšlení dosud vedlo při řešení některého z našich nejpalčivějších společenských problémů“, aniž by si uvědomil, že se baví o jednom ze sociologických problémů, který musí řešit sociologie. K jeho řešení matematika může být užitečná, ale také nemusí. Podle mého názoru ji to ani v druhém případě nijak nedevalvuje.

Matematika kolem nás

V Základech je matematika systematicky prezentována jako cesta od jedněch informací k druhým. Tak se objevuje matematika i v aplikacích. Například prvním úkolem pří vývoji raketoplánu bylo rozhodnout, zda se bude při návratu brzdit raketovými motory, což by se prodražilo a zkomplikovalo, nebo zda se dostatečně zbrzdí při proniknutí do atmosféry. Druhá varianta byla velmi lákavá, avšak bylo třeba rozhodnout, zda přitom raketoplán neshoří. Rozhodnout to experimentem není možné. Vstupními informacemi zde byly rovnice fyziky, na příklad rovnice vedení tepla, pohybové rovnice a rovnice proudění, a konkrétní údaje o problému, například vstupní rychlost raketoplánu, jeho tvar, materiál povrchu, koeficienty tření získané experimenty, atd. Cílem bylo spočítat pro různé varianty těchto dat průběh zahřívání. Při výpočtu se použila jak moderní numerická matematika, která byla rozpracována při řešení tohoto problému, tak matematika budovaná mnoha generacemi matematiků, kteří si ještě neuměli raketoplán ani představit. Matematika tak umožnila využít naše znalosti a zkušenosti i ve zcela nové oblasti.

Aplikace matematiky se neomezují na exkluzivní inženýrské problémy. Hledáme-li něco na internetu pomocí Googlu nebo Seznamu, používáme mimo jiné přibližné singulární rozklady (zkuste si najít na Googlu co to je) obrovských matic (s desítkami miliard řádků). Na televizi bychom se nemohli dívat, kdyby se ke kódování signálu nepoužívala rychlá Fourierova transformace. Kdo byl na CT, setkal se bezprostředně s Radonovou transformací. Zkuste si představit, kolik důmyslu je třeba k tomu, aby bylo možno sestavit z průměrných ztrát intenzity záření podél spousty paprsků 3D CT snímek! S aplikacemi matematiky se setkáváme denně, avšak sotva si to uvědomujeme.

Matematika jako umění a atletika ducha

Matematika však není jen prakticky důležitá. Je to hledání řádu, skrytých vzorů, podobně jako v hudbě nebo ve výtvarném umění. Krásu matematiky, stejně jako krásu v umění, nelze vysvětlit, ale lze ji vnímat. Uchyluji se proto k argumentaci autoritou a uvádím citát Bertranda Russella, filosofa, matematika, spisovatele, sociálního kritika a aktivisty, známého i u nás z roku 1968, kdy ve svých 94 letech zorganizoval Russellův tribunál proti invazi sovětských vojsk: “Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty - a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.” Jeho tribunál se zabýval i Vietnamskou válkou. Citát nepřekládám z obavy, že bych ho mohl pokazit. Připomeňme, že Russell se zabýval axiomatickými základy logiky, jejíž možnosti se později ukázaly omezené. Problémy logiky mají hluboký odraz v hudbě i výtvarném umění – lze se o tom dočíst v nedávno přeložené, i literárně skvělé knize Douglase Hofstadtera „Gödel, Escher, Bach.“

S krásou matematiky se lze potkat i při studiu konkrétních problémů. Paul Dirac, fyzik, který zavedl do fyziky delta-funkci, to zformuloval takto: „Co činí teorii relativity tak přijatelnou pro fyziky, a to přesto, že porušuje princip jednoduchosti, je její matematická krása. To je veličina, kterou nelze definovat o nic víc než krásu v umění, ale kterou lidé, kteří studují matematiku, obvykle nemají problém ocenit.“

Výše uvedené citáty naznačují, že matematiku lze studovat i pro její krásu. To je oblast „čisté matematiky“, jak se často nazývá, aby se odlišila od aplikované matematiky. Hranici mezi oběma oblastmi matematiky nedokážou občas rozlišit ani její tvůrci. Příkladem může být Hardy, jehož kniha „A Matematician´s Apology“ hájí pěstování matematiky pro její krásu. Autor si však zcela jistě nedokázal představit, že jeho výsledky z teorie čísel najdou uplatnění v používání veřejných kódů v internetovém bankovnictví.

Na matematiku však lze nahlížet i jako na druh intelektuálního sportu. Na rozdíl od šachu, kde všichni soutěží v jedné disciplíně (jaké jsou nejlepší tahy při daném postavení figur na šachovnici), v matematice představuje samostatnou disciplínu neřešený problém. Mezi „mistry světa“ patří určitě Andrew Wiles, který v roce 1994 předložil důkaz Fermatovy domněnky (známé též jako velká Fermatova věta). Fermat svou domněnku napsal na okraj knihy v roce 1637. Podle Ginessovy knihy to byl nejtěžší problém pro největší počet po staletí předkládaných špatných řešení. Za obdobu profesionálního sportu lze považovat snahu o řešení sedmi „Problémů milénia“, na které vypsal Clayův institut sedm milionů dolarů odměny. Matematika ve škole tak může být nahlížena také jako sport, kterého se žáci nedobrovolně musí zúčastnit. To může vyvolat odpor, ale může to mít i kladný účinek - žáci mohou pochopit, že nejsou v tomto oboru nejchytřejší. Pokud jsou opravdu chytří, pochopí, že nejsou nejchytřejší při dalším studiu.

Matematika a kritické myšlení

Může studium matematiky rozvíjet kritické myšlení? Matematika se zabývá zjednodušenými modely reálných situací, takže v rámci matematiky u nich můžeme spolehlivě rozhodnout, co platí. Výsledek rozhodně není „kulturně podmíněný“, jak si můžeme ověřit porovnáním předlistopadových a polistopadových učebnic.

Řada matematických výsledků je kontra-intuitivní, a jejich studiem můžeme získat zkušenost, se kterou lze konfrontovat reálné situace. Jako příklad si vyberme jeden milník ve vývoji metod řešení soustav lineárních rovnic. Tato úloha patří do osnov základní školy, a kdo nestudoval matematiku, sotva ji bude považovat za zajímavou. Mezi první kroky k řešení těchto soustav patří nalezení vzorců, které byly později zobecněny a zapsány pomocí determinantů. Na první pohled by se mohlo zdát, že to je konec a dál není co zkoumat ani proč. Pracnost vyčíslení řešení pomocí těchto důmyslných vzorců je však neuvěřitelná – na nejrychlejším superpočítači na světě by nestačilo ani stáří vesmíru k získání řešení pro sto neznámých. Co z toho plyne? Nestačí to k závěru, že tak velké soustavy nelze řešit?

Opravdu ne! Na odkaz „systems of linear equations“ nabízí Google přes pět milionů odkazů, mezi nimiž jsou popsány i metody, které umožňují řešení soustav s pracností, která je přímo úměrná počtu neznámých. Nejedná se samozřejmě o úpravy vzorců. Rovnice se sto miliardami neznámých se tak na Ostravském superpočítači řeší v desítkách vteřin!

Patří matematika ke všeobecnému vzdělání?

Vraťme se v závěru k otázce, zda matematika patří ke všeobecnému vzdělání. Představme si, jak by se asi tvářil Platon, kdyby se mohl zapojit do diskuze o matematice a všeobecném vzdělání. Že by se mu po přečtení obou výše uvedených článků v hlavě rozsvítilo a nápis před svou školou by rychle upravil na „Se znalostí matematiky sem nikdo nevstupuj!“, o tom pochybuji. Spíš mám obavy, že by se mohla naplnit ta nejhorší obava T. Fišerové a hledal by oázu zdravého rozumu u „průmyslových a ekonomických kruhů.“

Sám si samozřejmě myslím, že všestranně vzdělaný člověk by měl vědět, čím se matematika zabývá, kdo patří mezi ty, díky nimž se může dívat na televizi, a že člověk, kterého matematika baví, nemusí být „fachidiot (sic!) “. Bez matematiky se lze určitě obejít, její neznalost nevylučuje kritické myšlení, stejně jako pochopení základů matematiky nezaručuje schopnost kritického myšlení. Ale pro ty, kteří mají v úmyslu použít svá vysvědčení ke zvýšení své důvěryhodnosti, pletou si počty s matematikou a podmiňují všeobecné vzdělání neznalostí matematiky, navrhuji doplnit jejich diplomy vhodnou obdobou dodatku výučního listu jednoho předlistopadového politika. Podle legendy tam měl napsáno „Nepúšťat na saká!“

Vyšlo v rámci mediální spolupráce s Literárními novinami.