František Navrkal pochází z Děčína, kde vystudoval na Gymnáziu Děčín. Poté pokračoval ve studiu bakalářského oboru Aplikace softwarového inženýrství na ČVUT, který úspěšně ukončil. Problematikou informačních technologií se chystá zabývat i v Poslanecké sněmovně: „Vzdělaná a informovaná společnost, svobodný internet, efektivnější státní správa a skutečně fungující demokratický systém jsou věci, kvůli kterým jsem se stal členem Pirátů. Proto je budu hájit i nyní po svém vstupu do Sněmovny. Kromě toho se chystám zabývat globálními riziky jako jsou změny klimatu nebo biologické zbraně. Zároveň budu hájit zájmy Ústeckého kraje, odkud pocházím, to znamená, že se zaměřím na dostupnost sociálního bydlení, exekuce nebo ekonomickou transformaci kraje v důsledku útlumu těžby.“

Ve svém dosavadním působení v Pirátské straně se Navrkal věnoval administrativě, vnitřním předpisům i programu. V letech 2013 až 2016 byl členem Republikového výboru, od roku 2016 je členem rozhodčí komise. Od roku 2016 je předsedou Krajského sdružení Ústeckého kraj.