Tu započal po absolvování gymnázia v rodném Prostějově studiem na lékařské fakultě v Brně, kde promoval v roce 1950. Zde pak práce na katedře patologické fyziologie předurčila a provázela celé jeho životní směřování. V letech 1959 až 1962 zastával akademickou funkci proděkana lékařské fakulty, v letech 1970 až 1973 funkci rektora Univerzity J. E. Purkyně v Brně. V letech 1961 až 1962 absolvoval roční pobyt na pracovišti profesora H. Selyeho v Montrealu, kde byl účasten mj. objevu kalcifylaxe. V roce 1962 byl jmenován mimořádným profesorem, o dva roky později obhájil doktorskou dizertační práci a v roce 1965 byl jmenován řádným profesorem.

Věnoval se základnímu výzkumu patologie myokardu, zejména umělých náhrad srdce. Od roku 1975 se podílel na výzkumu chronických účinků záření na organismus. V roce 1988 se z jeho iniciativy v Brně uskutečnilo mezinárodní satelitní sympozium Totální náhrada srdce, kterého se účastnili čelní představitelé výzkumu umělého srdce z celého světa. Jaromír Vašků se stal členem Čs. společnosti pro patologickou a klinickou fyziologii, Mezinárodní společnosti pro kardiologický výzkum, Mezinárodní společnosti pro umělé orgány. V roce 1988 se stal členem korespondentem ČSAV.

Za svou vědeckou a pedagogickou práci získal mnohá ocenění, mj. i vyznamenání Za zásluhy o výstavbu (1984), Státní cenu Klementa Gottwalda (1986), Medaili Čs. lékařské společnosti J. E. Purkyně (1984), Zlatou medaili Lékařské fakulty UJEP v Brně (1984), Zlatou medaili Lékařské fakulty Univerzity Komenského v Bratislavě (1984), Zlatou plaketu ČSAV za zásluhy o rozvoj biologických věd. Své zkušenosti předává, a to i v mezinárodním měřítku, i poté, kdy v roce 1990 odchází z funkce vedoucího katedry do důchodu. Jeho vědecké výsledky doznaly ocenění i v zahraničí, například v Japonsku, kde si jich cenili a žádali si nadále jeho spolupráci.