Stránský pochází z rodiny, která byla na české politické scéně poměrně aktivní. Jeho pradědeček založil Lidové noviny a byl prvním ministrem kultury v Československé republice. Byl také spolužákem našeho prvního prezidenta. Stránského dědeček pokračoval v Lidových novinách, založil také slavný časopis Přítomnost. Během války dědeček působil v exilové vládě v Londýně. Po osvobození Československa se vrátil a byl ministrem spravedlnosti, pak ministrem školství.

Protože se pohádal s Tigridem, přestěhoval se do New Yorku

Stránského otec prý byl rovněž politikem. Později emigroval do západního Německa, kde s Pavlem Tigridem založili československé studio Svobodné Evropy v Mnichově. Poté, co se Stránského otec v Mnichově pohádal s Tigridem, přestěhoval se s Ferdinandem Peroutkou do New Yorku, kde se mu později narodil syn Martin J. Stránský.